Shanks Tonelli 算法

数学和模块化算法在数据处理中发挥着重要作用。依靠特殊函数和因式分解的知识，我们可以进行 10 次迭代，而不是 1000 次迭代。
由于不同的维度和对操作的重要注释（ /-/*），模算术很复杂。但我们使用的抽象思维可以帮助我们解决实际应用的问题。

#include 

int Shenks_Tonelli(int p, long long n) {
    n = n % p;
    int s = p - 1, r = 0;
    while (s % 2 == 0) {
        s /= 2;
        r++;
    }
    //λ и ω  
    int l = PowMod(n, s, p);
    int w = PowMod(n, (s + 1) / 2, p);
    int mod = l, m = 0;
    while (mod != 1) {
        mod = MulMod(mod, mod, p);
        m++;
    }
    int z = quadratic nonresidue(p);
    int yd_l = PowMod(PowMod(z, s, p), pow(2, r - m), p);
    int yd_w = PowMod(PowMod(z, s, p), pow(2, r - m - 1), p);
    while (l != 1) {
        l = MulMod(l, yd_l, p);
        w = MulMod(w, yd_w, p);
    }
    return w;
}

让我们看看这个算法（你能用代码创建一个数学结构吗？）：

1. 输入是一个奇素数 (p) 和一个整数 - 模 p 的二次余数（n，拉格朗日符号）
2. 首先，我们使用上面的公式得到p-1的展开式。这给了我们解决方案的不变性
3. 让我们选择一个任意的二次非留数 z，即勒让德符号
4. 根据上一周期的计算结果，找到比较解w，找到第二个比较解为p−w

一般来说，算法的复杂度为o(ln^2(p))。如果你知道算法的复杂性，就很容易看出该算法是高效的。 java 上排序数据的平均复杂度为 o(p*ln(p))。

复杂度影响代码的运行时

间和数据循环的复杂度。在公司和处理大数据时可以节省大量时间。